×

Вы используете устаревший браузер Internet Explorer. Некоторые функции сайта им не поддерживаются.

Рекомендуем установить один из следующих браузеров: Firefox, Opera или Chrome.

Контактная информация

+7-863-218-40-00 доб.200-80
ivdon3@bk.ru

Исследование напряжений в окрестности плоского горизонтального выреза

Аннотация

П.В. Дородов, А.В. Кулагин

Предлагается точное решение задачи для плоского горизонтального выреза, в котором учитывается концентрация напряжений в зависимости от геометрических параметров выреза. Полученное решение позволит решать задачи, связанные с оптимальным проектированием конструкций и деталей машин с подобными технологическими элементами.
Ключевые слова: Вырез, сопряжение, задача, уравнение, решение, напряжение.

Ключевые слова:

05.02.02 - Машиноведение, системы приводов и детали машин

Часто детали машин и строительные конструкции имеют технологические вырезы, ослабляющие их (рис. 1). Под действием внешних нагрузок возле краев таких вырезов возникает концентрация напряжений, приводящая к возникновению трещин или больших остаточных деформаций, что является недопустимым явлением.


Рис
Рис. 1 Расчетная схема прямоугольной полосы с горизонтальным вырезом

Задач является актуальной проблемой прочности , так как аналитические решения, при условии их корректности и правильного задания дополнительных краевых условий, позволяют решать не только прямые, но и обратные задачи. Основные трудности в решении связаны с определением напряжений на линии сопряжения, совпадающей с осью х. Для решения этой задачи используем характеристическую часть сингулярного интегрального уравнения с постоянными коэффициентами A и B на отрезке [-a;a] [1]:

,
где , u, v  – перемещения точек линии сопряжения; ; – нормальные и касательные напряжения на линии сопряжения.
В случае неограниченного решения в узлах  имеем:
,          (1)
где А*, В*, С – постоянные.
Допустим, что на линии интегрирования  перемещения принимают вид:

где δ, δ1некоторые постоянные.
Тогда
,
а выражение (1) можно переписать
,
из которого, разделяя действительную и мнимую части, получаем:

где , , – постоянные, зависящие от упругих свойств и внешней нагрузки.
Для их определения составим условия равновесия:

откуда
,    (2)
,
и краевое условие –
.     (3)
Решая совместно (2) и (3), получаем

Напряжения примут вид:

Касательные напряжения на линии сопряжения отсутствуют, следовательно,  главное напряжение. Главное напряжение  определим через максимальные касательных напряжений:
, (),
.
Таким образом, имеем
         (4)
Если устремить l к бесконечности, получим приближенные формулы:
           (5)
Аналогично будет, если  вырез рассматривать как эллиптическое отверстия с полуосями а и b, радиус b которого стремится к нулю [2]. Определим отношение l/t, при котором отклонение напряжений, найденных по выражениям (4) и (5) не превышают заданной погрешности Δ. Для этого достаточно сравнить  и , откуда

.
Например, при  - ; при  - .
Из формул (4) и (5) видно, что на концах плоского разреза напряжения стремятся к бесконечности, хотя на самом деле концы имеют радиус, который равен h (рис. 2).
Рис
Рис. 2 Вырез с закругленными концами

Обозначим через α1 теоретический коэффициент концентрации напряжений по нормальным напряжениям , то есть
,
где а1 – половина длины разреза с идеально острыми концами.
Пусть напряжения  равны напряжениям на контуре эллиптического отверстия с большей полуосью , при y=0. Совмещая концы контуров выреза и эллиптического отверстия (рис. 3), можно определить параметр а1
,
рис
Рис. 3 Схема приведения выреза с закругленными концами к эллиптическому отверстию


.    (6)
С другой стороны, согласно [2]
.    (7)
Приравняв (6) и (7), получим
,,.

Итак, для случая ограниченного решения на концах разреза выражения (4) можно переписать
          (8)
Кроме радиусов закруглений концов плоского выреза, на коэффициент концентрации  влияет текучесть. В этом случае следует считать
,
где σТ – предел текучести.
Доказывая решения (8) на рис. 4 показаны теоретические и экспериментальные эпюры напряжений  в безразмерных величинах при , . Эксперименты были проведены на модели из органического стекла при помощи лазерного интерферометра по методике, описанной в [3].


рис
Рис. 4 Сравнение теории с экспериментом

Сравнительный анализа показал, что относительное отклонение теории от эксперимента не превышает 8% на участке . У концов выреза  наблюдается существенное расхождение кривых из-за того, что в этой зоне материал пластичен, то есть эффективный (опытный) коэффициент концентрации напряжений в этой зоне должен быть равен
,
что также согласуется с теорией.
Таким образом, можно сделать вывод, что представленные аналитические решения (4) и (8) могут быть использовано для исследования концентрации напряжений возле технологических вырезов или дефектов различного рода в деталях машин.


Литература:
1.Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: «Наука», 1968. – 512 с.
2.Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. – М.: Высш. школа, 1979. – 432 с.
3.Беркутов В.П., Гусева Н.В., Дородов П.В., Киселев М.М. Интерферометр для определения нормальных напряжений в плоских прозрачных моделях // Датчики и системы, – №2. – 2009. – С. 26-30.