Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины
Аннотация
Данная статья рассматривает задачу построения двумерной гидродинамической модели области водоема с учетом наличия ледового покрытия, плавающего на поверхности. Численная модель является двумерной (в вертикальной плоскости), решение основывается на уравнениях Навье-Стокса в приближениях. Для построения численного алгоритма применяется метод расщепления по физическим процессам.
Ключевые слова: Ледяная пластина, ячейка, волновая гидродинамика, уравнений движения жидкости, уравнений неразрывности, заполненность.05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Введение. В данной работе рассматривается численная модель движения в двумерных (в вертикальной плоскости) водоемах. Математическая модель основана на уравнениях Навье-Стоксавприближениях. Для построения численного алгоритма применяются метод расщепления по физическим процессам.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача волновой динамики жидкости. Исходными уравнениями являются:
– уравнение Навье-Стокса:
; (1)
. 
(2)
– уравнение неразрывности:
(3)
Уравнения (1) – (3) рассматриваются при следующих граничных условиях, где для разных границ данной области жидкости отдельные условия
– на дне водоема:
(4)
– на свободной поверхности жидкости:
,
; (5)
– на поверхности жидкости, покрытой ледяной пластиной:
,
,
– на входе задается поток от источника:
– на выходе:
, 
; 
,
– начальные условия: при моменте
выполняются следующие условия:
, 
,
,
где 
– вектор скорости движения водной среды,
– давление, 
– коэффициент турбулентного обмена по горизонтальному направлению,
– коэффициент турбулентного обмена по вертикальному направлению, 
– ускорение свободного падения,
– плотность жидкости,
– составляющая тангенциального напряжения (закон Ван-Дорна), 
– плотность суспензии(взвеси). Система координат выбрана таким образом, что ось
совмещена с дном водоема и направлена в сторону ледовой пластины, ось
– вертикально вверх.
Имеются разные временные слои два реальных при
,
и один промежуточный слой при
соответственно можно обозначить
, 
, 
.
Расщепляя уравнения (1), (2), по физическим процессам, получим:
, (6) 
, (7)
,
(8)
После дифференцирование по и уравнения (18), (18), (20) примут вид:
,
, (9)
Суммируя уравнения (9), учитывая уравнение неразрывности (3)получим уравнение:
(10)
Расчет задач гидродинамики по данному методу осуществляется в три этапа. На первом этапе считается поле скоростей. На втором этапе рассчитывается давление. На третьем этапе уточняется поле скоростей по давлению.
Для аппроксимации задачи применяется интегро-интерполяционный метод, по области : 
: 
,
:
Уравнение (11) и (12) представляет собой конечно-разностную схему для уравнения (6) и (7).
(11)
аналогично:
(12)
.
Для аппроксимации операторов диффузии и конвекции по временной переменной будем использовать схемы с весами .
Также проинтегрируем уравнение (10) по области :
: 
: 
, 
. (13)
Тогда уравнение запишется в виде:
. 
(14)
Проинтегрируем уравнение (9) по области : 
: 
:
, :
, 
,. (15)
. 
(16)
Аналогично можно записать конечно-разностную схему для уравнения:
, (17).
Дискретная конечно-объемная модель волновой гидродинамики. Расчетные ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Центры ячеек и узлы разнесены на
, и
по координатам
и
соответственно. Обозначим через
заполненность ячейки 
. Поле скоростей и давление рассчитываются в вершинах ячейки. Вершинами ячейки являются узлы ,
,
,
.
Степень заполненности ячейки определяется давлением столба жидкости внутри данной ячейки. Если среднее давление в узлах, которые относятся к вершинам рассматриваемой ячейки, больше давления столба жидкости внутри ячейки, то ячейка считается заполненной полностью
. В общем случае заполненность ячейки можно вычислить по следующей формуле:
(18)
где 
– функция Хевисайда.
В окрестности узла
лежат ячейки
,
,
,
.
Введутся коэффициенты
, ,
,
,
, описывающие заполненность областей, находящихся в окрестности ячейки. Значение
, характеризует заполненность всей области.
Заполненные части областей
будем называть
, где 
. В соответствии с этим коэффициенты
можно вычислить по формулам:
,
а уравнение (11) примет вид:
Также уравнение (12):
. (19)
Далее представляется следующие сеточные уравнения:
– для составляющей вектора скорости
:
(20)
– для составляющей вектора скорости
:
;
(21)
– сеточными уравнениями для расчета поля давления:
;
(22)
– уравнениями для уточнения поля скоростей по давлению:
, (23)
, (24)
где параметр
, :. «маски» граничных условий.
Таким образом, построена конечно-объемная модель задачи волновой гидродинамики, представленная уравнениями (20) – (25).
Рис.1. Поле вектора скоростей жидкости
Результаты численных экспериментов расчета движения водной среды, частично покрытой ледяной пластиной представлены на рис. 1, где изображена динамика набегающего к пластине потока воды.
Полученная модель, проектируемая для расчетной области с заданными численными значениями, являющимися размером сетки
с шагами по оси x и y соответствующимиhx, hy.
Заключение. Разработана двумерная математическая модель для расчета полей скоростей; приведено описание программной реализации математической модели для расчета полей скоростей водной среды; выполнен численный эксперимент, построена картина потока воды водоема при наличии ледового покрытиявпериодов времени, которые согласуются с реальным физическим процессом.
Литература
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
2. Стокер, Дж. Дж. Волны на воде. Пер. с англ. – М. : Иностр. литер., 1959. 618 с.