×

Вы используете устаревший браузер Internet Explorer. Некоторые функции сайта им не поддерживаются.

Рекомендуем установить один из следующих браузеров: Firefox, Opera или Chrome.

Контактная информация

+7-863-218-40-00 доб.200-80
ivdon@ivdon.ru

Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины

Аннотация

К. Хекмат

Данная статья рассматривает задачу построения двумерной гидродинамической модели области водоема с учетом наличия ледового покрытия, плавающего на поверхности. Численная модель является двумерной (в вертикальной плоскости), решение основывается на уравнениях Навье-Стокса в приближениях. Для построения численного алгоритма применяется метод расщепления по физическим процессам.
Ключевые слова: Ледяная пластина, ячейка, волновая гидродинамика, уравнений движения жидкости, уравнений неразрывности, заполненность.

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Введение. В данной работе рассматривается численная модель движения в двумерных (в вертикальной плоскости) водоемах. Математическая модель основана на уравнениях Навье-Стоксавприближениях. Для построения численного алгоритма применяются метод расщепления по физическим процессам.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача волновой динамики жидкости. Исходными уравнениями являются:
– уравнение Навье-Стокса:
;    (1)
.           (2)
– уравнение неразрывности:
(3)
Уравнения (1) – (3) рассматриваются при следующих граничных условиях, где для разных границ данной области жидкости отдельные условия
– на дне водоема:
(4)
– на свободной поверхности жидкости:
, ;    (5)
– на поверхности жидкости, покрытой ледяной пластиной:
, ,

– на входе задается поток от источника:



– на выходе:

,  ; ,


– начальные условия: при моменте выполняются следующие условия:
, ,,

где  – вектор скорости движения водной среды,– давление,  – коэффициент турбулентного обмена по горизонтальному направлению,– коэффициент турбулентного обмена по вертикальному направлению,  – ускорение свободного падения, – плотность жидкости,  – составляющая тангенциального напряжения (закон Ван-Дорна),  – плотность  суспензии(взвеси). Система координат выбрана таким образом, что осьсовмещена с дном водоема и направлена в сторону ледовой пластины, ось  – вертикально вверх.
Имеются разные временные слои два реальных при,и один промежуточный слой при соответственно можно обозначить, , .


Расщепляя уравнения (1), (2), по физическим процессам, получим:
,   (6)
,   (7)

, (8)
После дифференцирование по и  уравнения (18), (18), (20) примут вид:
, ,   (9)
Суммируя уравнения (9), учитывая уравнение неразрывности (3)получим уравнение:
(10)
Расчет задач гидродинамики по данному методу осуществляется в три этапа. На первом этапе считается поле скоростей. На втором этапе рассчитывается давление. На третьем этапе уточняется поле скоростей по давлению.
Для аппроксимации задачи применяется интегро-интерполяционный метод, по области : : , :



Уравнение (11) и (12) представляет собой конечно-разностную схему для уравнения (6) и (7).

(11)

аналогично:

(12)
.
Для аппроксимации операторов диффузии и конвекции по временной переменной будем использовать схемы с весами .
Также проинтегрируем уравнение (10) по области :: : ,
.   (13)
Тогда уравнение запишется в виде:

.             (14)
Проинтегрируем уравнение (9) по области : : : , :
, ,.     (15)
.              (16)
Аналогично можно записать конечно-разностную схему для уравнения:
,     (17).
Дискретная конечно-объемная модель волновой гидродинамики. Расчетные ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Центры ячеек и узлы разнесены на ,  и  по координатам и соответственно. Обозначим через заполненность ячейки . Поле скоростей и давление рассчитываются в вершинах ячейки. Вершинами ячейки  являются узлы , , , .
Степень заполненности ячейки определяется давлением столба жидкости внутри данной ячейки. Если среднее давление в узлах, которые относятся к вершинам рассматриваемой ячейки, больше давления столба жидкости внутри ячейки, то ячейка считается заполненной  полностью . В общем случае заполненность ячейки можно вычислить по следующей формуле:

(18)
где  – функция Хевисайда.
В окрестности узла  лежат ячейки , , , .
Введутся коэффициенты , ,, , , описывающие заполненность областей, находящихся в окрестности ячейки. Значение , характеризует заполненность всей области.
Заполненные части областей  будем называть , где . В соответствии с этим коэффициенты  можно вычислить по формулам:
,
а уравнение (11) примет вид:







Также уравнение (12):




.     (19)

Далее представляется следующие сеточные уравнения:
– для составляющей вектора скорости:



  (20)
– для составляющей вектора скорости :




;    

               (21)
– сеточными уравнениями для расчета поля давления:

;   

         

   (22)
– уравнениями для уточнения поля скоростей по давлению:
,        (23)
,      (24)
где параметр  , :. «маски» граничных условий.
Таким образом, построена конечно-объемная модель задачи волновой гидродинамики, представленная уравнениями (20) – (25).



Рис.1. Поле вектора скоростей жидкости


Результаты численных экспериментов расчета движения водной среды, частично покрытой ледяной пластиной представлены на рис. 1, где изображена динамика набегающего к пластине потока воды.
Полученная модель, проектируемая для расчетной области с заданными численными значениями, являющимися размером сетки  с шагами по оси x и y соответствующимиhx, hy.
Заключение. Разработана двумерная математическая модель для расчета полей скоростей; приведено описание программной реализации математической модели для расчета полей скоростей водной среды; выполнен численный эксперимент, построена картина потока воды водоема при наличии ледового покрытиявпериодов времени, которые согласуются с реальным физическим процессом.

Литература

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
2. Стокер, Дж. Дж. Волны на воде. Пер. с англ. – М. : Иностр. литер., 1959. 618 с.