Разработан алгоритм и составлена программа на языке программирования Python для расчета численных значений оптимального оператора фильтрации с запаздыванием для L-марковского процесса с квазирациональной спектральной плотностью, являющегося обобщением марковского процесса с рациональным спектром. В основе построения оптимального оператора фильтрации с запаздыванием лежит спектральная теория случайных процессов. Расчетная формула оператора фильтрации была получена с использованием теории L-марковских процессов, методов вычисления стохастических интегралов, теории функций комплексного переменного и методов тригонометрической регрессии. Рассмотрен интересный с точки зрения управления сложными стохастическими системами пример L-марковского процесса (сигнала) с квазирациональным спектром. За основу при построении математической модели оптимального оператора фильтрации с запаздыванием была взята тригонометрическая модель. Показано, что значения оператора фильтрации с запаздыванием представляются линейной комбинацией значений принимаемого сигнала в определенные моменты времени и значений синусоидальных и косинусоидальных функций в те же моменты. Установлено, что числовые значения оператора фильтрации существенно зависят от параметра β совместной спектральной плотности принимаемого и передаваемого сигналов, в связи с чем в работе рассматривались три разные задачи прохождения сигнала через разные физические среды. Установлено, что абсолютная величина действительной части оператора фильтрации на всех трех интервалах изменения срока запаздывания и во всех трех средах превышает абсолютную величину мнимой части в среднем в два и более раз. Построены графики зависимости действительных и мнимых частей оператора фильтрации от срока запаздывания τ, а также трехмерные графики зависимости самого оператора фильтрации с запаздыванием от срока запаздывания. Дано физическое обоснование полученным результатам.

Keywords: random process, L-Markov process, noise, delayed filtering, spectral characteristic, filtering operator, trigonometric trend, standardized approximation error

A mathematical model has been constructed, an algorithm has been developed, and a program has been written in the Python programming language for calculating the numerical values of the optimal filtering operator with a forecast for an L-Markov process with a quasi-rational spectrum. The probabilistic model of the filtering operator formula has been obtained based on the spectral analysis of L-Markov processes using methods for calculating stochastic integrals, the theory of analytical functions of a complex variable, and methods for correlation and regression analysis. Considered an example of L-Markov process, the values of the optimal filtering operator with a forecast for which it was possible to express in the form of a linear combination of the values of the process at some moments of time and the sum of numerical values of cosines and sines at the same moments. The basis for obtaining the numerical values of the filtering operator was the mathematical model of trigonometric regression with 16 harmonics, which best approximates the process under study and has a minimum

Keywords: random process, L-Markov process, prediction filtering, spectral characteristics, filtering operator

Explicit formulas for the spectral characteristic and optimal linear filtration operator with a forecast for stochastic L–Markov processes are obtained using methods of spectral analysis of random processes, the theory of functions of a complex variable, and using stochastic differential-difference equations. An interesting example of an optimal filtration operator with a forecast for an L-Markov process with a quasi-rational spectral density generalizing the rational one is constructed for technical applications. It is shown that the forecast filtering operator is the sum of a linear combination of the values of the received signal at some time points and the integral of an exponentially decaying weight function.

Keywords: random process, L-Markov process, prediction filtering, spectral characteristic, filtration operator

The paper develops an algorithm for constructing an optimal lagged filtration operator for an L-Markov process. The explicit formula of the filtration operator is obtained on the basis of methods for calculating stochastic integrals and the theory of analytical functions of a complex variable using spectral analysis and the theory of L-Markov processes. An interesting example of an optimal lagged filtration operator for an L-Markov process is considered, which can be used for modeling and controlling complex stochastic systems. It is shown that this operator is represented as a linear combination of the values of the received signal and an integral with an exponentially decaying function.

Keywords: random process, L-Markov process, noise, lag filtering, spectral characteristic, filtering operator

In this paper, the problem of extrapolating a video signal with a quasi-rational spectral density, which significantly generalizes the rational density, is explicitly solved. The spectral characteristic of video signal extrapolation is constructed using the original method of A.M. Yaglom, a follower of academician A.N. Kolmogorov, who first posed the problem of extrapolation for random sequences and processes. The essence of the method consists in transferring all studies and calculations of spectral characteristics and densities from the real axis to the complex plane. The paper considers a video signal with a quasi-rational spectral density of a special type, interesting for practical applications, in which, as shown by the author using the Chebotarev and Sturm methods, it has all its roots only in an open upper half-plane.

Keywords: random process, video signal, prediction, filtering, spectral characteristic, prediction time